Ôn tập chương II

Bài 88 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H).

a. Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi

c. Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi

Lời giải:

a. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

- MA là tia phân giác của góc HMC

Vậy C, M, D thẳng hàng.

b. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi

c. Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang

Mà OA = OB (bán kính (O))

Và AC = MD (bán kính (M))

Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABDC

Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay góc (OMI) = 90^o

Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OM² = OH.OI

Suy ra: OH.OI = R² không đổi.