Luyện tập (trang 44-45)

Bài 45 (trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=x³-3x²+1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x³-3x²+m+2=0

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'=3x²-6x=3x(x-2)=0

y'> 0 trên khoảng (-∞;0)∪(2; +∞)

y' < 0 trên khoảng (0; 2)

y_CT=y(2)=-3;y_CĐ=y(0)=1

y''=6x-6=6(x-1)=0 <=> x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1)

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điêm uốn u(1; -1)

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Giao với Oy (0; 1)

b) x³-3x²+m+2=0 x³-3x²+1=-1-m (2)

Số nghiệm của Phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y=x³-3x²+1 với đường thẳng y = -1 – m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu -1-m > 1<=> m < -2 phương trình (2) có 1 nghiệm.

- Nếu -1-m=1 <=> m = -2: Phương trình (2) có 2 nghiệm.

- Nếu -3 < -1-m < 1 <=> -2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm

- Nếu -1-m < -3 <=> m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm

Kết luận:

-2 < m,2. Phương trình (2) có 3 nghiệm