a) Hình bình hành ABCD gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒O là trung điểm của AC, BD (tính chất )

Xét hai tam giác vuông ΔOEB và OFD có:

OB=OD

ˆBOE=ˆDO (đối đỉnh)

⇒ΔOEB=ΔOFD (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng)

Và có BE//DF (vì cùng vuông góc với AC giả thiết)

Từ hai điều trên ⇒ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét ΔHBC và ΔKDC có:

ˆBHC=ˆDKC=90o (giả thiết)

ˆHBC=ˆKDC(=BAD^ đồng vị)

⇒ΔHBC∼ΔKDC (g.g)

⇒CHCK=CBCD (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒CH.CD=CK.CB(đpcm)

c) Xét ΔAEB và ΔAHC có:

ˆA chung

ˆAEB=ˆAHC=90o

⇒ΔAEB∼ΔAHC (g.g)

⇒AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AE.AC=AB.AH (1)

Xét ΔAFD và ΔAKC có:

ˆA chung

ˆAFD=ˆAKC=90o

⇒ΔAFD=ΔAKC (g.g)

⇒AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

⇒AF.AC=AK.AD(2)

Ta có OE=OF (suy ra từ ΔOEB=ΔOFD câu a)

OA=OC (tính chất hình bình hành)

⇒OA−OE=OC−OF hay AE=FC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC

=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2 (đpcm)