Để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MDE, ta cần tìm cách biểu diễn diện tích này dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi x là độ dài cạnh BC (hay x = BC = a) và y là độ dài cạnh AB (hay y = AB).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * y * x = (1/2)yx

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = (1/2) * BC = (1/2) * x

Do đường thẳng MD vuông góc với AB tại D, ta có AD = AB = y

Tương tự, do đường thẳng ME vuông góc với AC tại E, ta có AE = AC = x

Diện tích tam giác MDE được tính bằng nửa tích chất của hai cạnh MD và ME:

Diện tích MDE = (1/2) * MD * ME

Để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích MDE, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của MD và ME.

Vì MD là đường cao của tam giác vuông MAB, ta có:

MD = (1/2) * AB = (1/2) * y

Tương tự, vì ME là đường cao của tam giác vuông MAC, ta có:

ME = (1/2) * AC = (1/2) * x

Kết hợp hai công thức trên, ta có:

Diện tích MDE = (1/2) * MD * ME = (1/2) * [(1/2) * y] * [(1/2) * x] = (1/8) * xy

Vậy, diện tích tam giác MDE là (1/8) * xy.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích MDE, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của xy.

Với điều kiện bc = a (tức x = a), diện tích tam giác ABC là s = (1/2) * y * a = (1/2)ya

Từ đây, ta có y = (2s) / a

Thay y vào công thức diện tích MDE, ta được:

Diện tích MDE = (1/8) * xy = (1/8) * x * [(2s) / a] = (1/4) * (s / a) * x

Với x = a (do bc = a), ta có:

Diện tích MDE = (1/4) * (s / a) * a = (1/4) * s

Vậy, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MDE là (1/4) * s.