Để chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc MOB = góc MAB.

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn O, nên góc MOB là góc giữa tiếp tuyến MB và tia phân giác của góc M (do đường tiếp tuyến và bán kính cùng tiếp xúc thì vuông góc với nhau). Tương tự, góc MAB là góc giữa tiếp tuyến MA và tia phân giác của góc M.

Do đó, để chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp, ta cần chứng minh góc MOB = góc MAB.

Tiếp theo, để chứng minh MO vuông góc với AB, ta cần chứng minh góc MOB = 90 độ.

Vì MO là đường phân giác của góc B trong tam giác MOB (do MO là phân giác góc trong), và góc MOB là góc giữa tiếp tuyến MB và tia phân giác của góc M, nên để góc MOB = 90 độ, ta cần chứng minh rằng MB là đường phân giác của góc M.

Tuy nhiên, vì MB là tiếp tuyến của đường tròn O, nên góc MOB là góc giữa tiếp tuyến MB và tia phân giác của góc M. Do đó, góc MOB = 90 độ.

Vậy, ta đã chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO vuông góc với AB.

Để chứng minh MA x AD = MD x AC, ta sử dụng định lý tiếp tuyến và giao tuyến: Gọi điểm C' là giao điểm của tiếp tuyến MB với đường tròn O. Từ đó, ta có tam giác MDC' đồng dạng với tam giác MAB (do cùng có hai góc vuông MOB và MAB). Vì tam giác MDC' đồng dạng với tam giác MAB, ta có tỉ số đồng dạng sau: MD/MA = MC'/MB = AC/AB.

Từ đó, ta suy ra MA x AD = MD x AC (do tích tỉ số đồng dạng bằng tích cạnh tương ứng).

Vậy, ta đã chứng minh được MA x AD = MD x AC.