Ta có thể giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa.

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Khi đó, ta có tứ giác AEPD là tứ giác điều hòa, do đó:

• $\dfrac{AP}{PD} = \dfrac{AE}{ED}$

Tương tự, ta có tứ giác BCEP là tứ giác điều hòa, do đó:

• $\dfrac{BP}{PC} = \dfrac{BE}{EC}$

Chia hai phương trình vừa rồi, ta được:

• $\dfrac{AP}{PD} \cdot \dfrac{PC}{BP} = \dfrac{AE}{ED} \cdot \dfrac{EC}{BE}$

Do $AB \perp CD$, nên $AE = EC$ và $BE = ED$. Thay vào phương trình trên, ta được:

• $\dfrac{AP}{PD} \cdot \dfrac{PC}{BP} = 1$

Tương đương với:

• $\dfrac{AP}{PD} = \dfrac{BP}{PC}$

Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ACD, ta có:

• $\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{AP}{PD} = \dfrac{BP}{PC} = \dfrac{BN}{NO}$

Do đó, tứ giác AMON là tứ giác điều hòa. Từ đó, ta có:

• $\dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AM}{AN} \cdot \dfrac{NO}{MO}$

Tương đương với:

• $OM \cdot ON = AM \cdot AN$

Mà $AN = ND$ và $AM = MA$, nên ta có:

• $OM \cdot ON \cdot MA \cdot ND = AM \cdot AN \cdot OM \cdot ON = AM \cdot ND \cdot ON \cdot MO$

Do đó, $OM \cdot ON \cdot MA \cdot ND$ là một hằng số.