a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì AM vuông góc với BM (do tam giác ABM vuông tại A), và MD vuông góc với AE (do tam giác AEM vuông tại A).
b) Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần có ME = AD. Vì AD = AB - BD và ME = MC - CE, nên ta cần có AB - BD = MC - CE. Từ đó suy ra BM = 2MC - BC. Vậy, để tứ giác ADME là hình vuông, điểm M cần nằm ở trung điểm của cạnh BC.
c) Ta cần chứng minh DE chia AB thành hai phần bằng nhau. Gọi N là giao điểm của DE và AB. Ta cần chứng minh AN = NB.
Vì DEKI là hình bình hành, ta có DE = KI. Vì I là trung điểm của BM, ta có BI = IM. Tương tự, vì K là trung điểm của CM, ta có CK = KM. Kết hợp hai công thức trên, ta có BI + CK = BM. Nhưng ta cũng có BC = BI + CK. Từ hai công thức trên, ta suy ra BM = BC/2. Do đó, ta có AM = MC = BC/2.
Áp dụng định lí Euclid, ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED. Từ đó, ta có:
AN/AB = AD/AE
⇔ AN/(AN + NB) = AD/(AD + BD)
⇔ AN = NB.(AD + BD)/(AE + BD)
Ta cần chứng minh rằng AD + BD = AE + BD, tức là AD = AE. Điều này suy ra từ việc tứ giác ADME là hình chữ nhật. Vậy, ta có AN = NB và DE là đường trung bình của tam giác ABC.