a) Ta có: AH = HC (H là trung điểm của AC), và DE vuông góc AC nên DH = HC.

Mà DH = HC nên tam giác DHC cân tại H.

Từ đó suy ra: góc CDK = góc CBK (hai góc nằm trên cùng một cung CK của đường tròn (O)).

Vì DK là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc CDK = góc KBD (cùng chắn cung KD).

Do đó, góc KBD = góc CBK, suy ra tam giác KBD cân tại K.

Vậy ta có DHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Góc AHB = 90 độ (AB là đường kính của đường tròn (O)), góc HDE = 90 độ (DE vuông góc AC), nên góc AHD = góc EDH.

Mà AH = HC nên tam giác AHC cân tại H.

Từ đó suy ra: góc AHD = góc CHD.

Mà DHCK là tứ giác nội tiếp nên góc DHK = góc DCK.

Do đó, góc ADE = góc CHD = góc AHD = góc KDC.

Vậy ta có CE // AD và E, C, K thẳng hàng.

c) Gọi P là giao điểm của KM và DN.

Ta có: góc KDP = góc KMP (hai góc nằm trên cùng một cung KM của đường tròn (O)).

Mà KM vuông góc DE nên góc KMP = 90 độ.

Do đó, góc KDP = 90 độ.

Tương tự, ta có góc KEP = 90 độ.

Vậy ta có KP vuông góc DE.

Gọi I là trung điểm của KM. Ta có:

EM² + DN² = EI² + MI² + DI² + NI²

= 2R² + DI² + NI² (vì EI = MI = R)

Mà DHCK là tứ giác nội tiếp nên góc DKC = góc DHC, suy ra tam giác KDC cân tại K.

Từ đó suy ra: KD = KC = R.

Mà K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC nên KB = KC = R.

Do đó, tam giác KBD đều.

Vậy DI = NI = R.

Thay vào công thức trên, ta được:

EM² + DN² = 2R²

a) Để chứng minh DHCK nội tiếp, ta cần chứng minh góc DHC = góc DKC.

Vì DH vuông góc AC và AC là đường kính của đường tròn (O), nên góc DHC là góc vuông.

Từ đó, ta chỉ cần chứng minh góc DKC cũng bằng góc vuông.

Vì DE là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc EDC = góc DBC (góc tiếp tuyến-chord).

Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên góc DBC = góc DCK (góc nửa cung).

Vậy ta có góc EDC = góc DCK.

Do đó, góc DKC = góc DHC và ta kết luận DHCK là một tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh CE // AD và E, C, K thẳng hàng, ta cần chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.

Vì DHCK là tứ giác nội tiếp (theo phần a đã chứng minh), nên góc KCD = góc KHD (góc nội tiếp-chắp).

Vì DE là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc EDC = góc DBC (góc tiếp tuyến-chord).

Vì BC là đường kính của đường tròn (O), nên góc DBC = góc DCB (góc nửa cung).

Vậy ta có góc KCD = góc DCB.

Do đó, CE // AD (cặp góc tương ứng bằng nhau) và E, C, K thẳng hàng (cặp góc đồng quy).