Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng mỗi lần thực hiện phép toán trên hai số a,b, tổng a^2 + b^2 + 2 và tích a^2b^2 + 3 đều tăng lên một lượng lớn hơn 1. Khi đó, sau mỗi lần thực hiện phép toán, tổng và tích sẽ không bao giờ là số chính phương.

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM như sau:

a^2 + b^2 + 2 ≥ 2ab + 2

a^2b^2 + 3 ≥ 2ab

Từ đó, ta có:

a^2 + b^2 + 2 + a^2b^2 + 3 ≥ 2ab + 2 + 2ab = 4ab + 2

Vì a và b là các số nguyên dương, nên ab ≥ 1. Do đó, ta có:

a^2 + b^2 + 2 + a^2b^2 + 3 ≥ 4ab + 2 ≥ 6

Tức là, sau mỗi lần thực hiện phép toán, tổng và tích đều tăng lên ít nhất 6 đơn vị. Vì vậy, sau nhiều lần thực hiện phép toán, tổng và tích sẽ trở nên rất lớn và không bao giờ là số chính phương. Do đó, số cuối cùng còn lại trên bảng cũng không thể là số chính phương.