a) Vì MI là đường phân giác của góc MNP, nên ta có:
∠MIN = ∠MIP (góc nội tiếp chắn cùng một cung MP trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP)
∠IMN = ∠IMP (góc nội tiếp chắn cùng một cung MN trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP)

Do đó, tam giác MIN và tam giác MIP có hai góc tương đương nhau, nên theo định lí góc đồng nhất, ta có:
∠MIN = ∠MIP
∠IMN = ∠IMP

Vậy, tam giác MIN và tam giác MIP là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).

Do đó, theo định lí tam giác đồng dạng, ta có:
IN/IP = IM/IM (đường phân giác chia cạnh đối của góc thành tỉ lệ bằng nhau)

Vậy, IN = IP.

b) Trên tia đối của tia IM, lấy điểm A. Ta có:
∠IAN = ∠IAP (góc nội tiếp chắn cùng một cung IP trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP)
∠IAN = ∠IAN (góc cùng phía với cạnh đối của góc)

Vậy, tam giác IAN và tam giác IAP có hai góc tương đương nhau, nên theo định lí góc đồng nhất, ta có:
∠IAN = ∠IAP

Vậy, tam giác IAN và tam giác IAP là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).

Do đó, theo định lí tam giác đồng dạng, ta có:
AN/AP = AI/AI (đường phân giác chia cạnh đối của góc thành tỉ lệ bằng nhau)

Vậy, AN = AP.