a, Tứ giác OCAB là hình vuông. Vì dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA, và OC là đường chéo của hình vuông OCAB, nên tứ giác OCAB là hình vuông.

b, Ta có:
- Vì dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA, nên BM là đường cao của tam giác OAB.
- Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt OA tại E, nên tam giác OBE là tam giác vuông tại B.
- Vì OB là đường phân giác của góc O trong tam giác OAB, nên OB cắt BE thành hai đoạn bằng nhau.
- Vậy, ta có OB = OE.
- Do đó, tam giác OBE là tam giác cân tại O.
- Vì OB = OE, nên đường thẳng EC là đường phân giác của góc O trong tam giác OBE.
- Vậy, EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c,
- Vì BC = 10cm và M là trung điểm của OA, nên AM = OA/2 = R/2.
- Vì tứ giác OCAB là hình vuông, nên OC = AB = BC = 10cm.
- Ta có tam giác OAM vuông tại A, với AM = R/2 và OA = R.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAM, ta có: OA^2 = AM^2 + OM^2.
- Substituting AM = R/2 và OA = R, ta có: R^2 = (R/2)^2 + OM^2.
- Giải phương trình trên, ta có: OM^2 = 3R^2/4.
- Vậy, OM = √(3R^2/4) = R√3/2.
- Vì tam giác OBM vuông tại B, với OB = 10cm và BM = R, ta có: BE^2 = OB^2 + OM^2.
- Substituting OB = 10cm và OM = R√3/2, ta có: BE^2 = 10^2 + (R√3/2)^2.
- Giải phương trình trên, ta có: BE^2 = 100 + 3R^2/4.
- Vậy, BE = √(100 + 3R^2/4).