Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh chia hết cho 12 (n là số lẻ)

CM : 3^n+5^n+7^n+9^n chia hết cho 12 ( n là số lẻ )
1 trả lời
Hỏi chi tiết
46
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng CM: 3^n + 5^n + 7^n + 9^n chia hết cho 12 khi n là số lẻ, ta sẽ sử dụng định lí Euler.

Định lí Euler: Nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(phi(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó phi(m) là hàm phi Euler và cho biết số số nguyên tố cùng nhau với m trong khoảng từ 1 đến m.

Ta biết rằng 3 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau, vì vậy ta có 3^(phi(12)) ≡ 1 (mod 12).

Ta tính phi(12):
- Các số từ 1 đến 12 có dạng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
- Các số nguyên tố cùng nhau với 12 là 1, 5, 7, 11.
- Vậy phi(12) = 4.

Do đó, ta có 3^4 ≡ 1 (mod 12).

Tương tự, ta có 5^4 ≡ 1 (mod 12), 7^4 ≡ 1 (mod 12), 9^4 ≡ 1 (mod 12).

Vì n là số lẻ, nên ta có thể viết n = 2k + 1, với k là số nguyên không âm.

Áp dụng định lí Euler, ta có:
3^n + 5^n + 7^n + 9^n ≡ 3^(2k+1) + 5^(2k+1) + 7^(2k+1) + 9^(2k+1) ≡ 3*3^(2k) + 5*5^(2k) + 7*7^(2k) + 9*9^(2k) ≡ 3*1 + 5*1 + 7*1 + 9*1 ≡ 3 + 5 + 7 + 9 ≡ 0 (mod 12).

Vậy ta kết luận rằng CM: 3^n + 5^n + 7^n + 9^n chia hết cho 12 khi n là số lẻ.
1
0
Tiến Dũng
20/09/2023 20:39:32
+5đ tặng

3n+5n+7n+9n=(3n+9n)+(5n+7n)

Mà  \hept{3n+9n⋮3+9=125n+7n⋮5+7=12 (áp dụng an+bn chia hết cho a+b với n lẻ)

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 8 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500K