Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (với A và B là hai tiếp điểm). Tia MO cắt AB tại H. Chứng minh rằng: OA² = OH.OM

1. Ta có:
- Gọi I là trung điểm của AB.
- Gọi α là góc MOB và β là góc MOA.
- Ta có góc MOI = góc MOB = α và góc OMI = góc MOA = β.
- Vì I là trung điểm của AB nên góc OIA = góc OIB = 90°.
- Từ đó, ta có góc OIM = 180° - góc OIA - góc OMI = 180° - 90° - β = 90° - β.
- Tương tự, ta có góc OMI = 90° - α.
- Vì góc OIM = góc OMI nên tam giác OIM là tam giác vuông tại I.
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OIM, ta có: OM² = OI² + IM².
- Vì I là trung điểm của AB nên IM = IA = IB = R.
- Từ đó, ta có: OM² = OI² + R².
- Vì OI = OA (vì OI là đường phân giác góc MOA) nên ta có: OM² = OA² + R².
- Từ đó, ta có: OA² = OM² - R² = OH.OM.

2. Gọi F là giao điểm của AC và OH.
- Ta có góc OAF = góc OMF (do AF là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A) = góc OMB (do MF là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M).
- Từ đó, ta có góc OAF = góc OMB.
- Vì góc OAF = góc OMB nên tam giác OAF và OMB đồng dạng.
- Từ đó, ta có: OA/OB = OF/OM.
- Vì OA = OB (vì O là tâm đường tròn) nên ta có: OF = OM.
- Vậy F trùng với trung điểm E của CD.
- Từ đó, ta có: OA/OB = OE/OC.
- Vì OA = OB (vì O là tâm đường tròn) nên ta có: OE = OC.
- Vậy M, A, O, E cùng thuộc một đường tròn.