Cho ABC vuông tại A(AB < AC), đường cao AH

a) Ta có AM là đường trung bình trong tam giác AHD nên M là trung điểm HD. Mà M là trung điểm BC nên ta có BC // HD.
Vì AB ⊥ BC nên AB ⊥ HD. Tương tự, AC ⊥ HD.
Do đó, AB ⊥ AC nên ABDC là hình chữ nhật.

b) Ta có M là trung điểm AD nên MD = MA. Vì ABDC là hình chữ nhật nên AD ⊥ BC, suy ra MD ⊥ BC.
Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta cần chứng minh góc ADE = góc EDM.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên góc ADB = 90°. Mà MD ⊥ BC nên góc MDC = 90°.
Do đó, góc ADE = góc ADM + góc MDC = góc ADM + 90°.
Vì MD = MA nên tam giác ADM là tam giác cân tại A, suy ra góc ADM = góc MAD.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên góc MAD = 90° - góc ADB = 90° - 90° = 0°.
Vậy, góc ADE = 0° + 90° = 90°.
Tương tự, ta có góc EDM = 90°.
Vậy, DB là tia phân giác của góc ADE.

c) Gọi I' là hình chiếu của E lên BD và K' là hình chiếu của E lên CD.
Ta cần chứng minh I'J // HK'.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên AB // DC và AD // BC.
Do đó, tam giác ADE và tam giác BDC là hai tam giác đồng dạng.
Vậy, góc AED = góc BDC và góc ADE = góc CBD.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên góc AED = góc ADE = 90°.
Suy ra, góc BDC = 90° và góc CBD = 90°.
Vậy, tam giác BDC là tam giác vuông tại D.
Do đó, I'J // HK'.
Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng I'J = HK'.
Gọi J' là trung điểm của EK'. Ta cần chứng minh rằng J' là trung điểm của ID.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên AB // DC và AD // BC.
Do đó, tam giác ADE và tam giác BDC là hai tam giác đồng dạng.
Vậy, góc AED = góc BDC và góc ADE = góc CBD.
Vì ABDC là hình chữ nhật nên góc AED = góc ADE = 90°.
Suy ra, góc BDC = 90° và góc CBD = 90°.
Vậy, tam giác BDC là tam giác vuông tại D.
Gọi N là trung điểm của BD. Ta cần chứng minh rằng J' là trung điểm của IN.
Vì M là trung điểm của AD nên MN // ID.
Vì M là trung điểm của BC nên MN // BC.
Do đó, MN // BD.
Vì J' là trung điểm của EK' nên J'N // EK'.
Vậy, J'N // EK' // BD.
Vì J'N // BD nên J'N là đường cao của tam giác BDC.
Vậy, J'N ⊥ BD.
Tương tự, ta có JN ⊥ BD.
Vậy, J' là trung điểm của IN.
Vậy, J' = J.
Từ đó, ta có I'J' = IJ.
Vậy, I'J' = IJ và I'J' // HK'.
Do đó, ta có H, I, J, K thẳng hàng.