Cho hàm số f(x)=(m+2)x-1; g(x)=mx+√2 (m khác 0). Chứng minh f(x)+g(x); f(x)− g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến

a) Để chứng minh f(x) + g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của f(x) + g(x) là không âm trên một khoảng xác định.

Đạo hàm của f(x) + g(x) là (m+2) + m/√2.

Để đạo hàm này không âm trên một khoảng xác định, ta cần chứng minh rằng (m+2) + m/√2 ≥ 0.

Điều này tương đương với m + 2 + m/√2 ≥ 0.

Tiếp theo, ta cần giải phương trình m + 2 + m/√2 = 0.

Nhân cả hai vế của phương trình với √2, ta có √2m + 2√2 + m = 0.

Kết hợp các hạng tử có cùng m, ta có (1 + √2)m + 2√2 = 0.

Do đó, m = -2√2/(1 + √2).

Với m này, ta có thể thấy rằng đạo hàm của f(x) + g(x) là không âm trên một khoảng xác định, do đó f(x) + g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến.

b) Để chứng minh g(x) - f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của g(x) - f(x) là không dương trên một khoảng xác định.

Đạo hàm của g(x) - f(x) là m/√2 - (m+2).

Để đạo hàm này không dương trên một khoảng xác định, ta cần chứng minh rằng m/√2 - (m+2) ≤ 0.

Tiếp theo, ta cần giải phương trình m/√2 - (m+2) = 0.

Nhân cả hai vế của phương trình với √2, ta có m - √2(m+2) = 0.

Kết hợp các hạng tử có cùng m, ta có m - √2m - 2√2 = 0.

Do đó, m = -2√2/(1 - √2).

Với m này, ta có thể thấy rằng đạo hàm của g(x) - f(x) là không dương trên một khoảng xác định, do đó g(x) - f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến.