​Cho tam giác cân tại có và là hai đường trung tuyến

Để chứng minh các phần a), b) và c), ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác cân và tam giác đồng dạng.

a) Ta có đường trung tuyến BM song song với đáy AC của tam giác ABC, do đó góc BMA bằng góc BAC (vì cùng là góc đối của cạnh AB). Tương tự, ta có góc CMA bằng góc CAB. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên góc BAC bằng góc BCA. Từ đó, ta có:

góc BMA = góc BAC = góc BCA = góc CMA

Do đó, tam giác BMA và tam giác CMA là hai tam giác cân tại M.

b) Ta có đường trung tuyến BM song song với đáy AC của tam giác ABC, do đó BM chia đôi đáy AC. Tương tự, ta có đường trung tuyến CN chia đôi đáy AB. Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = CN.

c) Ta đã chứng minh ở phần b) rằng BM = CN. Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = CN = 1/2 AC. Từ đó, ta có:

BC = BM + CM = 1/2 AC + 1/2 AC = AC

Vậy tứ giác BMNC là hình thang cân.