a) Ta có AI là đường trung bình của tam giác ABC nên AI vuông góc với BC và cắt BC tại M (vì I là trung điểm của AC). Vì vậy, IM là đường thẳng vuông góc với BC tại M.
Gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên AB và E là hình chiếu vuông góc của M trên AC. Ta cần chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Vì AD là hình chiếu vuông góc của AM trên AB và ME là hình chiếu vuông góc của AM trên AC, nên ADME là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính AM.
Vì tứ giác ADME nội tiếp trong đường tròn đường kính AM, nên góc DME = 90 độ (góc nội tiếp chắn cung AM).
Vì góc DME = 90 độ, nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Gọi K là điểm trên tia đối của tia IM sao cho I là trung điểm của KM. Ta cần chứng minh tứ giác AKCM là hình bình hành và AK vuông góc với KM.
Vì I là trung điểm của KM, nên AI là đường trung bình của tam giác KAM. Vì vậy, AI vuông góc với KM và cắt KM tại I.
Vì IM là đường thẳng vuông góc với BC tại M, nên góc AIM = 90 độ.
Vì AI vuông góc với KM và góc AIM = 90 độ, nên AK vuông góc với KM.
Vì AK vuông góc với KM và AI là đường trung bình của tam giác KAM, nên AK là đường phân giác của góc KAM.
Vì AK là đường phân giác của góc KAM, nên góc KAM = góc KMA.
Vì góc KAM = góc KMA và góc AKM = góc AMK (vì AI là đường trung bình của tam giác KAM), nên tứ giác AKCM là hình bình hành.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng vuông góc với EK và BC. Gọi O là giao điểm của AM và DE. Ta cần chứng minh góc DKE bằng 90 độ và H, O, K thẳng hàng.
Vì EK là đường thẳng vuông góc với đường thẳng qua E, nên góc DKE = 90 độ.
Vì ADME là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên góc DME = 90 độ.
Vì góc DME = 90 độ và góc DKE = 90 độ, nên tứ giác DKEO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính DE.
Vì tứ giác DKEO nội tiếp trong đường tròn đường kính DE, nên góc DKO = góc DEO (góc nội tiếp chắn cung DE).
Vì góc DKO = góc DEO và góc DKE = 90 độ, nên góc DKO = 90 độ.
Vì góc DKO = 90 độ, nên góc KHO = 90 độ (vì KH là đường thẳng vuông góc với DE).
Vì góc KHO = 90 độ và góc DKO = 90 độ, nên H, O, K thẳng hàng.