a) Ta có tam giác APN có diện tích là 100 cm2. Vì AN = AC/4, nên diện tích tam giác APN bằng 1/2 * AN * AP = 1/2 * AC/4 * AP = 1/8 * AC * AP. Từ đó suy ra AC * AP = 800 cm2.

Giả sử diện tích tam giác ABC là S cm2. Ta có diện tích tam giác ABC = diện tích tam giác APN + diện tích tam giác BPC + diện tích tam giác BAC.

Diện tích tam giác BPC = diện tích tam giác ABC - diện tích tam giác APN - diện tích tam giác BAC = S - 100 - 1/2 * AC * BC.

Diện tích tam giác BPC = diện tích tam giác BMC = diện tích tam giác BAC + diện tích tam giác AMC = 1/2 * AC * BC + 1/2 * AC * BC = AC * BC.

Do đó, S - 100 - 1/2 * AC * BC = AC * BC. Từ đó suy ra S = 100 + 3/2 * AC * BC.

b) Ta có đoạn PN là đoạn nối từ N đến M, và đoạn MN là đoạn nối từ M đến N. Vì M là trung điểm của BC, nên đoạn MN chia đôi đoạn BC. Từ đó suy ra đoạn PN là đoạn còn lại của đoạn BC sau khi chia đôi. Vậy đoạn PN lớn hơn đoạn MN.

7) a) Ta có CE = 2/3 CA và CD = 1/3 CB. Vì AD và BE cắt nhau tại O, nên ta có tỉ lệ AO/OE = AD/DB và BO/OE = BE/EA.

Giả sử CA = 3x và CB = 3y. Khi đó CE = 2x và CD = y. Từ đó suy ra AE = CA - CE = 3x - 2x = x và BD = CB - CD = 3y - y = 2y.

Áp dụng tỉ lệ AO/OE = AD/DB, ta có AO/OE = x/2y.

Tương tự, áp dụng tỉ lệ BO/OE = BE/EA, ta có BO/OE = 2y/x.

Do đó, ta không thể so sánh BO và OE vì chúng có tỉ lệ khác nhau.

b) Diện tích tam giác BOD = 800 cm2. Vì diện tích tam giác BOD = 1/2 * BO * OD, nên ta có BO * OD = 1600 cm2.

Giả sử diện tích tam giác AOE là S cm2. Ta có diện tích tam giác AOE = diện tích tam giác BOD + diện tích tam giác AOB - diện tích tam giác AOD - diện tích tam giác BOE.

Diện tích tam giác AOB = 1/2 * AB * OC = 1/2 * 3x * 2y = 3xy.

Diện tích tam giác AOD = 1/2 * AD * OC = 1/2 * x * 2y = xy.

Diện tích tam giác BOE = 1/2 * BO * OE = 1/2 * BO * OE = BO * OE.

Do đó, S = 800 + 3xy - xy - BO * OE.

Tuy nhiên, không có thông tin về BO và OE nên không thể tính được diện tích tam giác AOE.