Để chứng minh các phần a, b, c, d, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác.

a) Ta có ab = ac và h là trung điểm của bc. Vậy ta có hb = hc (vì h là trung điểm của bc). Do đó, tam giác ahb và tam giác ahc có hai cạnh bằng nhau (ab = ac) và cạnh chung hb = hc. Vậy theo định lý cạnh - cạnh - cạnh, ta có tam giác ahb = tam giác ahc.

b) Ta có ab = ac và h là trung điểm của bc. Vậy ta có hb = hc (vì h là trung điểm của bc). Do đó, tam giác ahb và tam giác ahc có hai cạnh bằng nhau (ab = ac) và cạnh chung hb = hc. Vậy theo định lý cạnh - cạnh - cạnh, ta có tam giác ahb = tam giác ahc. Vậy góc ahb = góc ahc. Nhưng góc ahb và góc ahc là hai góc trong tam giác ahb và tam giác ahc, nên góc ahb = góc ahc = 90 độ. Vậy ah vuông góc với bc.

c) Ta có ab = ac và h là trung điểm của bc. Vậy ta có hb = hc (vì h là trung điểm của bc). Vì hb = hc, nên ta có góc ahb = góc ahc (vì hai góc đối nhau của hai cạnh bằng nhau trong tam giác). Nhưng góc ahb và góc ahc là hai góc trong tam giác ahb và tam giác ahc, nên góc ahb = góc ahc. Vậy ah là tia phân giác của góc bac.

d) Ta có ab = ac và h là trung điểm của bc. Vậy ta có hb = hc (vì h là trung điểm của bc). Vì hb = hc, nên ta có góc ahb = góc ahc (vì hai góc đối nhau của hai cạnh bằng nhau trong tam giác). Nhưng góc ahb và góc ahc là hai góc trong tam giác ahb và tam giác ahc, nên góc ahb = góc ahc. Vậy góc abc = góc acb (vì góc abc và góc acb là hai góc trong tam giác abc).