a) Ta có OC = OA và OB = OD, suy ra tam giác OAC và OBD là tam giác cân.
Vì OA < OB nên góc OAC > góc OBD.
Do đó, tam giác OAD và OCB là hai tam giác cân có cạnh chung OA và OC, nên chúng đồng dạng.
Vậy tam giác OAD = tam giác OCB.
Tương tự, ta có góc ODA = góc OBC.

b) Gọi góc MCD là α và góc MAB là β.
Ta có góc ODA = góc OBC (theo câu a).
Vì OC = OA và OB = OD, nên tam giác OAC và OBD là tam giác cân.
Do đó, góc OAC = góc OCA và góc OBD = góc ODB.
Suy ra, góc OCA + góc OCB = góc OAC + góc OBC.
Tương tự, góc ODA + góc ODB = góc OAD + góc ODA.
Nhưng góc ODA = góc OBC (theo câu a), nên góc OAD + góc ODA = góc OAD + góc OBC.
Vậy, góc OCA + góc OCB = góc OAD + góc OBC.
Mà góc OCA = góc MCD và góc OCB = góc MAB, nên α + β = góc OAD + góc OBC.
Nhưng góc OAD = góc OBC (theo câu a), nên α + β = 2góc OAD.
Vậy, góc MCD = góc MAB.

c) Ta có OC = OA và OB = OD, suy ra tam giác OAC và OBD là tam giác cân.
Do đó, đường thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác OAC và đường thẳng BM là đường trung tuyến của tam giác OBD.
Vậy, AM = MC và BM = MD.
Suy ra, OM là tia phân giác của góc AMC và góc BMD.
Vì góc AMC = góc BMD (do tam giác OAC = tam giác OBD), nên OM là tia phân giác của xOy.

d) Gọi E là trung điểm của AC và F là trung điểm của BD.
Ta đã chứng minh ở câu c) rằng OM là tia phân giác của xOy.
Vì E là trung điểm của AC nên OE cắt AC tại E sao cho OE = EC.
Tương tự, OF cắt BD tại F sao cho OF = FD.
Vậy, E, M, F thẳng hàng.