Để phân tích đa thức x^3 + 3x^2 + 1 + 3x thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp nhân tử chung.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng đa thức này không có nhân tử chung rõ ràng. Vậy ta cần tìm một nhân tử giả định để thử.

Giả sử nhân tử giả là (x + a), với a là một số thực cần tìm. Ta có thể áp dụng định lý Horner để kiểm tra nhân tử giả này.

Áp dụng định lý Horner, ta có:

x^3 + 3x^2 + 1 + 3x = (x + a)(x^2 + bx + c)

Thực hiện phép chia đa thức, ta có:

x^3 + 3x^2 + 1 + 3x = x^3 + (a + b)x^2 + (ab + c)x + ac

So sánh các hệ số tương ứng, ta có hệ thức:

a + b = 3
ab + c = 3a
ac = 1

Từ hệ thức trên, ta có thể giải hệ phương trình để tìm giá trị của a, b và c.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, không có giá trị cụ thể của a, b và c thỏa mãn hệ phương trình. Điều này cho thấy đa thức không thể phân tích thành nhân tử đơn giản hơn.

Vậy, đa thức x^3 + 3x^2 + 1 + 3x không thể phân tích thành nhân tử.