(5n + 1) và (6n + 1) là hai số nguyên tố cùng nhau (n ϵ N)

1) Để hai số (5n + 1) và (6n + 1) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần phải chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử d là ước chung lớn nhất của (5n + 1) và (6n + 1). Khi đó, d cũng là ước chung của (6n + 1) - 6(5n + 1) = 1 và (5n + 1) - 5(6n + 1) = -4.

Vì d là ước chung của 1 và -4, nên d cũng là ước chung của 1 và 4. Nhưng ước chung lớn nhất của 1 và 4 là 1. Vậy, ước chung lớn nhất của (5n + 1) và (6n + 1) là 1.

2) Để tổng S = 31 + 32 + 33 + …+ 3100 chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng tổng S chia hết cho cả 8 và 15.

Đầu tiên, ta chứng minh rằng tổng S chia hết cho 8.

Ta biết rằng tổng S = 31 + 32 + 33 + …+ 3100 = 3(1 + 2 + 3 + … + 100). Vì 1 + 2 + 3 + … + 100 là tổng của dãy số từ 1 đến 100, nên ta có công thức tổng quát là: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

Áp dụng công thức trên, ta có: 1 + 2 + 3 + … + 100 = 100(100 + 1)/2 = 5050.

Vậy, tổng S = 3(1 + 2 + 3 + … + 100) = 3(5050) = 15150.

Vì 15150 chia hết cho 8 (15150 = 8 * 1893), nên tổng S chia hết cho 8.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng tổng S chia hết cho 15.

Ta biết rằng tổng S = 31 + 32 + 33 + …+ 3100 = 3(1 + 2 + 3 + … + 100). Vì 1 + 2 + 3 + … + 100 là tổng của dãy số từ 1 đến 100, nên ta có công thức tổng quát là: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

Áp dụng công thức trên, ta có: 1 + 2 + 3 + … + 100 = 100(100 + 1)/2 = 5050.

Vậy, tổng S = 3(1 + 2 + 3 + … + 100) = 3(5050) = 15150.

Vì 15150 chia hết cho 15 (15150 = 15 * 1010), nên tổng S chia hết cho 15.

Vậy, tổng S = 31 + 32 + 33 + …+ 3100 chia hết cho cả 8 và 15, do đó chia hết cho 120.

3) Để tổng S = 102015 + 8 chia hết cho 18, ta cần chứng minh rằng tổng S chia hết cho 18.

Ta có: S = 102015 + 8 = 102023.

Vì 102023 không chia hết cho 18, nên tổng S = 102015 + 8 không chia hết cho 18.