Để tìm số a có ba chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sử dụng phương pháp thử và sai.

Vì a chia cho 11 dư 5, ta có thể viết a dưới dạng a = 11k + 5, với k là một số nguyên không âm.

Thay a vào phương trình a chia cho 13 dư 10, ta có:
11k + 5 ≡ 10 (mod 13)
11k ≡ 5 (mod 13)

Để giải phương trình này, ta sử dụng định lý Euclid mở rộng. Ta tìm số nguyên x và y sao cho 11x + 13y = 1. Ta có:
11(-6) + 13(5) = 1

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 5, ta có:
11(-30) + 13(25) = 5

Vậy k = -30 là một nghiệm của phương trình 11k ≡ 5 (mod 13).

Ta có thể tìm nghiệm khác bằng cách cộng thêm 13 vào k:
k = -30 + 13 = -17

Vậy k = -17 cũng là một nghiệm của phương trình 11k ≡ 5 (mod 13).

Ta có thể tìm nghiệm tiếp theo bằng cách cộng thêm 13 vào k:
k = -17 + 13 = -4

Vậy k = -4 cũng là một nghiệm của phương trình 11k ≡ 5 (mod 13).

Tiếp tục quá trình này, ta tìm được các nghiệm khác như sau:
k = 9, 22, 35, ...

Vì a có ba chữ số, ta chỉ quan tâm đến các giá trị k từ 0 đến 9.

Thay các giá trị k vào a = 11k + 5, ta có các số a có ba chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho:
a = 5, 16, 27, 38, 49, 60, 71, 82, 93, 104

Vậy có 10 số a có ba chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho.