Chứng minh tam giác IBC cân

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, H là trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = MB. Vì I là điểm thuộc đoạn thẳng AH, nên AI = IH.

Khi đó, ta có:
IB = IA + AB = IA + AM + MB = IH + AM + MB = AH = HC.

Vậy tam giác IBC cân.

b) Ta có tam giác IBC cân, nên IB = IC.

Theo định lí hai đường thẳng chéo nhau, ta có:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{AB}$

Nhân hai phương trình trên với nhau, ta có:
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{AC}{AB}$
$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Từ đó, suy ra BD = DC và CE = EA.

Vậy DC = BE.

c) Ta có tam giác IBC cân, nên IB = IC.

Gọi K là giao điểm của DE và BC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng DE, ta có:
$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

Vì BD = DC và CE = EA, nên ta có:
$\frac{AK}{KB} = 1$

Từ đó, suy ra AK = KB.

Vậy AH là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AH 1 DE.