Cho hình thang ABCD biết AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD qua O. Vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại A và các BD tại BC tại F. Chứng minh hai tam giác AOD và BOC có diện tích bằng nhau

a/ Ta có:
- AB // CD (theo đề bài)
- AC và BD là hai đường chéo của hình thang ABCD, nên chúng cắt nhau tại một điểm O (theo đề bài)
- AB // EF (do vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại A và BD tại F)
- Ta có AO/OC = AD/BC (do AC // BD và AOD và BOC là hai tam giác đồng dạng)
- Ta cũng có AO/OC = AB/EF (do AB // EF và AOD và BOC là hai tam giác đồng dạng)
=> AB/EF = AD/BC
=> AB/EF + 1 = AD/BC + 1
=> (AB + EF)/EF = (AD + BC)/BC
=> AF/EF = CD/BC (do AB + EF = AD + BC)
=> AF/EF = CD/BC = AD/BC (do AB // CD)
=> AF = AD (do EF // AB)
=> Tam giác AOD và BOC có cạnh chung AO và BO, cạnh AD và BC bằng nhau, nên diện tích của hai tam giác này cũng bằng nhau.

b/ Ta có:
- AB // EF (do vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại A và BD tại F)
- AB // CD (theo đề bài)
- Ta có AO/OC = AD/BC (do AC // BD và AOD và BOC là hai tam giác đồng dạng)
- Ta cũng có AO/OC = AB/EF (do AB // EF và AOD và BOC là hai tam giác đồng dạng)
=> AB/EF = AD/BC
=> AB/EF + 1 = AD/BC + 1
=> (AB + EF)/EF = (AD + BC)/BC
=> AF/EF = CD/BC (do AB + EF = AD + BC)
=> AF/EF = CD/BC = AD/BC (do AB // CD)
=> AF = AD (do EF // AB)
=> AF/EF = AD/EF
=> 1/EF = 1/AF + 1/EF
=> 1/EF = 1/AF + 1/CD (do AB // CD)
=> 1/EF = 1/AF + 1/CD = 2/EF (do AF = AD)
=> 1/EF = 2/EF
=> 1 = 2 (vô lý)
Vậy, không có giá trị nào của AB, CD, EF thỏa mãn phương trình 1/AB + 1/CD = 2/EF.