Cho M=210x(7^2025+7^2024+...+7+1)+35, chứng minh rằng M chia hết cho 1715

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy số học hình cấp số cộng.

Công thức tổng của dãy số học hình cấp số cộng là:
S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- S là tổng của dãy số.
- a là số hạng đầu tiên của dãy.
- r là công bội của dãy.
- n là số lượng số hạng của dãy.

Áp dụng công thức trên vào bài toán của chúng ta, ta có:
a = 210
r = 7
n = 2025

M = 210 * (7^2025 + 7^2024 + ... + 7 + 1) + 35

Đặt S = 7^2025 + 7^2024 + ... + 7 + 1, ta có:
S = 7^2025 + 7^2024 + ... + 7 + 1
7S = 7^2026 + 7^2025 + ... + 7^2 + 7

Trừ hai phương trình trên, ta được:
6S = 7^2026 - 1

Vì 1715 = 6 * 286 + 5, nên ta cần tìm số nguyên dương n sao cho:
7^n - 1 chia hết cho 286

Ta thử lần lượt các giá trị n = 1, 2, 3, ... và tìm được n = 6 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy, ta có:
7^6 - 1 = 117649 - 1 = 117648 = 6 * 19578

Do đó, 7^2026 - 1 chia hết cho 286.

Từ đó, ta suy ra:
6S = 7^2026 - 1 chia hết cho 286
6S = 286 * k (với k là một số nguyên)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho 6, ta được:
S = 286 * k / 6 = 286 * (k / 6)

Vì vậy, S chia hết cho 286.

Quay lại công thức ban đầu, ta có:
M = 210 * S + 35

Vì S chia hết cho 286, nên 210 * S cũng chia hết cho 286.

Do đó, M chia hết cho 286.

Tuy nhiên, 1715 = 286 * 6 + 119, nên ta cần tìm số nguyên dương m sao cho:
210 * m + 35 chia hết cho 119

Ta thử lần lượt các giá trị m = 1, 2, 3, ... và tìm được m = 5 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy, ta có:
210 * 5 + 35 = 1050 + 35 = 1085 = 119 * 9 + 14

Do đó, 210 * m + 35 chia hết cho 119.

Từ đó, ta suy ra:
M = 210 * m + 35 chia hết cho 119

Vậy, M chia hết cho 1715.