Để chứng minh rằng biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 60, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho cả 2 và 3.

1) Chứng minh rằng n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 2:
- Nếu n là số chẵn, thì biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 2 vì n chia hết cho 2.
- Nếu n là số lẻ, thì n^2 - 1 chia hết cho 2 vì n^2 là số lẻ và 1 là số chẵn. Tương tự, n^2 - 4 cũng chia hết cho 2 vì n^2 là số lẻ và 4 là số chẵn. Do đó, biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 2.

2) Chứng minh rằng n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 3:
- Nếu n chia hết cho 3, thì biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 3 vì n chia hết cho 3.
- Nếu n không chia hết cho 3, ta xét 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: n ≡ 1 (mod 3)
Khi đó, n^2 ≡ 1 (mod 3) và n^2 - 1 ≡ 0 (mod 3). Tương tự, n^2 - 4 ≡ 0 (mod 3). Do đó, biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 3.
+ Trường hợp 2: n ≡ 2 (mod 3)
Khi đó, n^2 ≡ 1 (mod 3) và n^2 - 1 ≡ 0 (mod 3). Tương tự, n^2 - 4 ≡ 0 (mod 3). Do đó, biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 3.
+ Trường hợp 3: n ≡ 0 (mod 3)
Khi đó, n^2 ≡ 0 (mod 3) và n^2 - 1 ≡ 2 (mod 3). Tương tự, n^2 - 4 ≡ 1 (mod 3). Do đó, biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho 3.

Vậy, biểu thức n( n^2 - 1 )( n^2 - 4 ) chia hết cho cả 2 và 3, từ đó suy ra nó chia hết cho 2 * 3 = 6.