Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng khái niệm về xác suất và quy tắc nhân để tính toán.

a) Để tính xác suất để 5 người lên 5 toa tàu khác nhau, ta sẽ tính tổng số cách sắp xếp 5 người lên 5 toa tàu và chia cho tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào.

Tổng số cách sắp xếp 5 người lên 5 toa tàu khác nhau là 5! (5 giai thừa) vì có 5 người và 5 toa tàu.

Tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào là 5^5 vì mỗi người có 5 lựa chọn để lên một trong 5 toa tàu.

Vậy xác suất để 5 người lên 5 toa tàu khác nhau là: 5! / 5^5 = 0.08 (8%).

b) Để tính xác suất để người A và B cùng lên một toa tàu, ta sẽ tính tổng số cách sắp xếp 5 người lên 5 toa tàu sao cho A và B cùng lên một toa và chia cho tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào.

Có 4 toa tàu mà A và B có thể lên cùng nhau. Vậy tổng số cách sắp xếp 5 người lên 4 toa tàu còn lại là 4! (4 giai thừa) vì có 4 người còn lại và 4 toa tàu.

Tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào là 5^5.

Vậy xác suất để người A và B cùng lên một toa tàu là: 4! / 5^5 = 0.0256 (2.56%).

c) Để tính xác suất để chỉ có 2 trong 5 người lên toa đầu tiên, ta sẽ tính tổng số cách sắp xếp 2 người lên toa đầu tiên và 3 người còn lại lên 4 toa tàu còn lại, sau đó chia cho tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào.

Có 5 cách chọn 2 người lên toa đầu tiên. Vậy tổng số cách sắp xếp 2 người lên toa đầu tiên là 5P2 = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 * 4 = 20.

Có 3 người còn lại và 4 toa tàu còn lại. Vậy tổng số cách sắp xếp 3 người lên 4 toa tàu còn lại là 4! (4 giai thừa) vì có 3 người còn lại và 4 toa tàu.

Tổng số cách sắp xếp 5 người lên bất kỳ 5 toa tàu nào là 5^5.

Vậy xác suất để chỉ có 2 trong 5 người lên toa đầu tiên là: (5P2 * 4!) / 5^5 = (20 * 4!) / 5^5 = 0.1536 (15.36%).