Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và định lí cơ bản.

a) Ta có:
- Góc MAH và góc MBA là góc vuông vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Góc OAH và góc OBH cũng là góc vuông vì OA và OB là bán kính của đường tròn (O).
Do đó, ta có tứ giác MAHB là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra các điểm M, A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:
- Góc OAI và góc OBI là góc vuông vì OA và OB là bán kính của đường tròn (O).
- Góc OMI và góc OHM cũng là góc vuông vì OM và OH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Do đó, tứ giác OAIM và tứ giác OHIM là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác OAIM và tứ giác OHIM, ta có:
OI * AM = OA * IM + OM * AI
OH * IM = OM * IH + OH * MI
Từ đó suy ra: OI * AM + OH * IM = OA * IM + OM * AI + OM * IH + OH * MI
=> OI * AM + OH * IM = IM * (OA + OH) + OM * (AI + IH)
=> OI * AM + OH * IM = IM * OH + OM * AI
=> OI/IM + OH/OM = OH/IM + OM/IM
=> OI/IM = OH/OM
=> OI * OM = OH * IM
Vậy ta đã chứng minh được OK . OH=OI . OM.

c) Ta có:
- Góc OBD và góc OAD là góc vuông vì OA và OB là bán kính của đường tròn (O).
- Góc OMD và góc OHD cũng là góc vuông vì OM và OH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Do đó, tứ giác OAMD và tứ giác OHBD là tứ giác nội tiếp.
Từ đó, ta có góc OAD = góc OMD và góc OBD = góc OHD.
Vậy ta có AD//MO.