Để chứng minh AE.AC=AF.AB, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường cao AD:

Theo định lí Menelaus, ta có:

$$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$$

$$\frac{AE}{EC} = \frac{DA}{BD} \cdot \frac{FB}{CF}$$

$$\frac{AE}{EC} = \frac{AC \cdot \sin{\angle CAD}}{AB \cdot \sin{\angle BAD}} \cdot \frac{AB \cdot \sin{\angle CAF}}{AC \cdot \sin{\angle BAC}}$$

$$\frac{AE}{EC} = \frac{\sin{\angle CAD} \cdot \sin{\angle CAF}}{\sin{\angle BAD} \cdot \sin{\angle BAC}}$$

$$\frac{AE}{EC} = \frac{\sin{\angle CAD} \cdot \sin{\angle CAF}}{\sin{\angle BAD} \cdot \sin{\angle BAC}} = 1$$

$$\sin{\angle CAD} \cdot \sin{\angle CAF} = \sin{\angle BAD} \cdot \sin{\angle BAC}$$

$$\sin{\angle CAD} \cdot \sin{(90 - \angle CAD)} = \sin{\angle BAD} \cdot \sin{(90 - \angle BAD)}$$

$$\sin{\angle CAD} \cdot \cos{\angle CAD} = \sin{\angle BAD} \cdot \cos{\angle BAD}$$

$$\sin{2\angle CAD} = \sin{2\angle BAD}$$

$$2\angle CAD = 2\angle BAD$$

$$\angle CAD = \angle BAD$$

Tương tự, ta có thể chứng minh được $\angle BAE = \angle CAF$

Vậy ta có: $\triangle ABE \sim \triangle AFC$

Do đó: $\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$

$$AE \cdot AC = AF \cdot AB$$

Vậy ta đã chứng minh được AE.AC=AF.AB

Để chứng minh góc AEF = góc ABC, ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp:

Do $\triangle ABE \sim \triangle AFC$, nên ta có tứ giác AEHF nội tiếp.

Vậy góc AEF = góc AHF (cùng nằm trên cùng một cung)

$$\angle AHF = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - \angle ABC$$

Vậy góc AEF = góc ABC

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b)