Cho (O;R), một đường thẳng d khong đi qua tâm O và cắt (O) tại A và B. Từ 1 điểm C nằm ngoài đường tròn ( C thuộc d và CB < CA). Kẻ 2 tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M thuộc cung AB nhỏ). Gọi H là trung điểm AB

Để tìm vị trí điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất, ta cần tìm điểm C sao cho E, F nằm trên đường thẳng d và diện tích tam giác CEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi x là độ dài CH. Ta có:
- Diện tích tam giác CEF = diện tích tam giác COF - diện tích tam giác COE.
- Diện tích tam giác COF = 0.5 * OF * OC * sin(FOC).
- Diện tích tam giác COE = 0.5 * OE * OC * sin(EOC).

Ta cần tìm x sao cho diện tích tam giác CEF đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của sin(FOC) và sin(EOC).

Gọi G là giao điểm của đường thẳng OH và đường thẳng d. Ta có:
- Tam giác OCH đều nên sin(FOC) = sin(EOC) = sin(OGC) = OG / GC.

Do đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của OG / GC. Khi đó, ta cần chọn điểm C sao cho G nằm trên đoạn thẳng CN.

Vậy, để diện tích tam giác CEF nhỏ nhất, ta cần chọn điểm C sao cho G nằm trên đoạn thẳng CN.