Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH, AD là đường phân giác của tam giác ABH ; CI là đường phân giác của tam giác ACH ; CI cắt AD tại K

Để chứng minh các phần trên, ta có các bước sau:

a. Ta có góc HCA = góc HCB (do CI là đường phân giác của tam giác ACH) và góc HAB = góc HCB (do AD là đường phân giác của tam giác ABH). Do đó, góc HCA = góc HAB.

Tương tự, ta có góc KCA = góc KCB (do CI là đường phân giác của tam giác ACH) và góc KAB = góc KCB (do AD là đường phân giác của tam giác ABH). Do đó, góc KCA = góc KAB.

b. Ta có góc KCA = góc KAB (đã chứng minh ở phần a), góc KAC = góc KBC (do CI là đường phân giác của tam giác ACH và ABH), suy ra tam giác AKC vuông tại K.

Để xác định điểm I của tam giác ACD, ta thấy rằng I là giao điểm của CI và AD, nên I là trung điểm của AD (do CI là đường phân giác của tam giác ACH).

c. Ta có góc HCA = góc HAB (đã chứng minh ở phần a), suy ra DI song song với AB (do AD là đường phân giác của tam giác ABH).

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.

Hình vẽ:
\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below right:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (0,3);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (0,1.5);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (2,0);
\coordinate[label=above:$I$] (I) at (0.67,1);
\coordinate[label=above:$K$] (K) at (0.67,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (H);
\draw (A) -- (D);
\draw (C) -- (I);
\draw (C) -- (K);
\draw (A) -- (K);
\draw (D) -- (I);
\end{tikzpicture}
\]