Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D

Giải:

a. Chứng minh:

Ta có: $\angle BHE = \angle BAE$ (cùng phụ)

Và $\angle HBE = \angle HBA = \angle BAC$ (do $BE = BH$)

Vậy $\triangle BHE \sim \triangle BAE$ (theo góc)

Do đó, $\frac{BE}{BA} = \frac{BH}{AE}$

Hay $\frac{BH}{BA} = \frac{BH}{AE}$

Vậy $AE = BA$ (1)

Ta có: $\angle BHA = 90^{\circ}$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)

Vậy $AE = HC$ (2)

b. Chứng minh:

Đặt $B'$ là trung điểm của $BB'$

Ta có: $HB' = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}BH = BE$

Vậy $HB' = BE$

Do đó, $B'E \parallel HH$

Vậy $\angle AEB' = \angle HHE$

Nhưng ta đã chứng minh được $\triangle BHE \sim \triangle BAE$

Vậy $\angle AEB' = \angle ABE$

Do đó, $\triangle AEB' \sim \triangle ABE$

Vậy $\frac{AE}{AB'} = \frac{AB}{AE}$

Hay $AE^2 = AB \cdot AB'$

Nhưng ta đã có $AE = BA$ (theo (1))

Vậy $AE^2 = AB \cdot AB' = AE \cdot AB$

Do đó, $AE = AB'$

Nhưng $HB' = BE$

Vậy $AE = HC$ (theo (2))

Vậy ta đã chứng minh được $AE = HC$

c. Chứng minh:

Đã chứng minh ở bài trên.