Cho đường tròn tâm (O;R) từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O:R) vẽ hai tiếp tuyến AM và AB (A,B là hai tiếp điểm). Lấy C bất kì trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM

a) Ta có góc ADC = góc ABC (cùng chắn cung AC trên cùng đường tròn (O)), góc ADB = góc AMB (cùng chắn cung AB trên cùng đường tròn (O)). Do đó tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có góc CDE = góc ADE - góc ADC = góc AME - góc ABC = góc AMB = góc CBA.

c) Ta có góc CDE = góc CBA (theo b), góc CED = góc CAB (cùng chắn cung AC trên cùng đường tròn (O)), góc CDF = góc CBF (cùng chắn cung CB trên cùng đường tròn (O)), góc CFD = góc CBA (cùng chắn cung AB trên cùng đường tròn (O)). Do đó ta có tứ giác CDEK là tứ giác tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra IK//AB.

d) Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Ta có AH = OM = 2R. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC, ta có AC^2 = AH^2 + CH^2 = 4R^2 + CH^2. Tương tự, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BHC, ta có BC^2 = BH^2 + CH^2 = 4R^2 + CH^2. Do đó, AC^2 + BC^2 = 8R^2 + 2CH^2 ≥ 8R^2 (với bất đẳng thức AM-GM). Vậy để (AC^2 + BC^2) nhỏ nhất, ta cần C nằm ở giữa A và B trên cung nhỏ AB. Khi đó, AC = BC và CH = 0, từ đó AC^2 + BC^2 = 8R^2. Đáp án là 8R^2, đạt được khi C là trung điểm của AB.