a)
- Để tìm giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), ta cần giải hệ phương trình:
- Đường thẳng (d): y = 6x + m^2
- Parabol (P): y = -x^2
- Thay y của đường thẳng vào phương trình của parabol, ta được:
6x + m^2 = -x^2
=> x^2 + 6x + m^2 = 0
=> Δ = 6^2 - 4*1*m^2 = 36 - 4m^2
- Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta cần Δ > 0:
36 - 4m^2 > 0
=> m^2 < 9
=> -3 < m < 3
- Với m = 2√2 thỏa mãn điều kiện -3 < m < 3, ta tiếp tục giải phương trình x^2 + 6x + (2√2)^2 = 0:
=> x^2 + 6x + 8 = 0
=> (x + 2)(x + 4) = 0
=> x = -2 hoặc x = -4
- Giao điểm A(-2, 8) và B(-4, 16)
- Độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn AB trên trục Ox là |x_A - x_B| = |-2 - (-4)| = 2

b)
- Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần Δ > 0:
36 - 4m^2 > 0
=> m^2 < 9
=> -3 < m < 3
- Vì m là số nguyên, nên các giá trị nguyên của m thỏa mãn -3 ≤ m ≤ 2.