Chứng minh tam giác IAB = IHB; AI < IC

Để chứng minh tam giác iab = tam giác ihb, ta cần chứng minh hai tam giác này đồng dạng.

Ta có:
Góc iab = góc iac + góc cab (do i là điểm phân giác của góc abc)
Góc ihb = góc ihc + góc bhc (do ih vuông góc với bc)

Nhưng ta có:
Góc iac = góc ihc (do ai vuông góc với ih)
Góc cab = góc bhc (do tam giác abc vuông tại a)

Vậy ta có:
Góc iab = góc ihb
=> Tam giác iab = tam giác ihb (do hai góc và cạnh đối của chúng bằng nhau)

Để chứng minh ai nhỏ hơn ic, ta cần chứng minh rằng tam giác aic vuông tại i.

Ta có:
Góc aic = góc aih + góc hic
Góc aih = góc bia (do ai vuông góc với ih)
Góc hic = góc hib (do ih vuông góc với bc)

Nhưng ta có:
Góc bia = góc bca (do tam giác abc vuông tại a)
Góc hib = góc hbc (do tam giác hbc vuông tại h)

Vậy ta có:
Góc aic = góc bca + góc hbc = 90 độ
=> Tam giác aic vuông tại i
=> ai nhỏ hơn ic (do trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn nhất)