a, Ta có:
- Tam giác ABD và tam giác MBD có cạnh AB chung, cạnh BD chung và góc BMD = góc ABD (do BD là đường phân giác của tam giác ABC).
- Góc BMD = góc AMD = 90 độ (do MD vuông góc với BC).
Vậy tam giác ABD = tam giác MBD (theo góc - cạnh - góc).

b, Ta có:
- Góc ABD = góc MBD (vì tam giác ABD = tam giác MBD).
- Góc ADB = góc MDB (vì BD là đường phân giác của tam giác ABC).
Vậy tam giác ADB = tam giác MDB (theo góc - cạnh - góc).
Do đó, AD = MD > BD > DC (vì BD là đường phân giác của tam giác ABC).

c, Ta có:
- Góc AME = 90 độ (vì ME vuông góc với AM).
- Góc AKE = 90 độ (vì K là trung điểm của ME).
Vậy AK // ME.
- Góc EMI = góc AME = 90 độ.
Vậy AK // ME // EI.
- Ta có AK = 2/3 AM và ME = 2/3 MC (do K là trung điểm của ME).
Vậy AK = ME.
Do đó, AKME là hình thoi.
- Ta có góc AMI = góc EMI = 90 độ.
Vậy AKME là hình bình hành.
- Ta có góc AMB = góc DMB = 45 độ (vì BD là đường phân giác của tam giác ABC).
Vậy AK // MD.
Vậy AK, EI, MD đồng quy tại một điểm.