Để giải bài toán này, ta cần xác định diện tích ban đầu của miếng bìa hình vuông. Gọi cạnh của miếng bìa hình vuông ban đầu là \( x \) cm.

Khi tăng thêm hai cạnh liền nhau của miếng bìa lên 15 cm, ta sẽ có một hình chữ nhật với các cạnh là \( x + 15 \) cm và \( x + 15 \) cm.

Diện tích của hình vuông ban đầu là:
\[ x^2 \]

Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng thêm hai cạnh là:
\[ (x + 15) \times (x + 15) = (x + 15)^2 \]

Theo đề bài, diện tích miếng bìa tăng thêm 1125 cm², do đó:
\[ (x + 15)^2 - x^2 = 1125 \]

Ta giải phương trình này:
\[ (x + 15)^2 - x^2 = 1125 \]
\[ x^2 + 30x + 225 - x^2 = 1125 \]
\[ 30x + 225 = 1125 \]
\[ 30x = 1125 - 225 \]
\[ 30x = 900 \]
\[ x = \frac{900}{30} \]
\[ x = 30 \]

Vậy cạnh của miếng bìa hình vuông ban đầu là 30 cm. Diện tích của miếng bìa hình vuông ban đầu là:
\[ x^2 = 30^2 = 900 \, \text{cm}^2 \]

Do đó, diện tích miếng bìa ban đầu là 900 cm².