Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ lệ. Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết rằng \( AB : AC = 3 : 4 \) và \( AB + AC = 21 \) cm. Ta cần tính các cạnh \( AB \), \( AC \), \( BC \), \( AH \), \( BH \), và \( CH \).

1. **Tính \( AB \) và \( AC \)**:
- Gọi \( AB = 3x \) và \( AC = 4x \) (vì \( AB : AC = 3 : 4 \)).
- Theo đề bài, \( AB + AC = 21 \) cm, tức là:
\[
3x + 4x = 21
\]
\[
7x = 21
\]
\[
x = 3
\]
- Vậy \( AB = 3x = 3 \times 3 = 9 \) cm và \( AC = 4x = 4 \times 3 = 12 \) cm.

2. **Tính \( BC \)**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2
\]
\[
BC^2 = 81 + 144
\]
\[
BC^2 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

3. **Tính \( AH \)**:
- Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{9 \times 12}{15}
\]
\[
AH = \frac{108}{15}
\]
\[
AH = 7.2 \text{ cm}
\]

4. **Tính \( BH \) và \( CH \)**:
- Sử dụng công thức \( BH \) và \( CH \) trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC}
\]
\[
BH = \frac{9^2}{15}
\]
\[
BH = \frac{81}{15}
\]
\[
BH = 5.4 \text{ cm}
\]
- Tương tự:
\[
CH = \frac{AC^2}{BC}
\]
\[
CH = \frac{12^2}{15}
\]
\[
CH = \frac{144}{15}
\]
\[
CH = 9.6 \text{ cm}
\]

Vậy, các cạnh của tam giác ABC và các đoạn đường cao AH, BH, CH là:
- \( AB = 9 \) cm
- \( AC = 12 \) cm
- \( BC = 15 \) cm
- \( AH = 7.2 \) cm
- \( BH = 5.4 \) cm
- \( CH = 9.6 \) cm