Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x+y+z ≤ 1. Chứng minh rằng: (căn x^2+1/x^2) + (căn y^2+1/Y^2) + (căn z^2+1/z^2) ≥ căn 82

Để chứng minh bất đẳng thức \((\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}) + (\sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}}) + (\sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}}) \geq \sqrt{82}\) với \(x, y, z > 0\) và \(x + y + z \leq 1\), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các tính chất của hàm số.

Trước hết, ta xét hàm số \(f(t) = \sqrt{t^2 + \frac{1}{t^2}}\) với \(t > 0\). Ta sẽ chứng minh rằng \(f(t) \geq \sqrt{2}\) với mọi \(t > 0\).

Ta có:
\[ f(t) = \sqrt{t^2 + \frac{1}{t^2}} \]

Xét hàm số \(g(t) = t^2 + \frac{1}{t^2}\). Ta có:
\[ g'(t) = 2t - \frac{2}{t^3} \]

Đặt \(g'(t) = 0\), ta có:
\[ 2t - \frac{2}{t^3} = 0 \]
\[ 2t^4 = 2 \]
\[ t^4 = 1 \]
\[ t = 1 \]

Xét giá trị của \(g(t)\) tại \(t = 1\):
\[ g(1) = 1^2 + \frac{1}{1^2} = 2 \]

Ta có:
\[ g(t) = t^2 + \frac{1}{t^2} \geq 2 \]
với mọi \(t > 0\). Do đó:
\[ f(t) = \sqrt{t^2 + \frac{1}{t^2}} \geq \sqrt{2} \]

Bây giờ, ta xét tổng:
\[ \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \]

Do \(x, y, z > 0\) và \(x + y + z \leq 1\), ta có:
\[ \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} \geq \sqrt{2}, \quad \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} \geq \sqrt{2}, \quad \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{2} \]

Do đó:
\[ \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]

Ta cần chứng minh \(3\sqrt{2} \geq \sqrt{82}\).

Ta có:
\[ 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \]

Vì \(\sqrt{18} < \sqrt{82}\), nên \(3\sqrt{2} < \sqrt{82}\).

Tuy nhiên, ta cần chứng minh bất đẳng thức ban đầu. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian Euclid:

\[ (\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}})^2 \geq (1 + 1 + 1) \left( \frac{x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} + z^2 + \frac{1}{z^2}}{3} \right) \]

Do đó:
\[ (\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}})^2 \geq 3 \left( \frac{x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} + z^2 + \frac{1}{z^2}}{3} \right) = x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} + z^2 + \frac{1}{z^2} \]

Do \(x + y + z \leq 1\), ta có \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\). Do đó:
\[ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} + z^2 + \frac{1}{z^2} \geq 3 \cdot \frac{1}{x^2} \]

Từ đó, ta có:
\[ (\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}})^2 \geq 3 \cdot 3 = 9 \]

Do đó:
\[ \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{9} = 3 \]

Vì \(3 < \sqrt{82}\), nên bất đẳng thức ban đầu không đúng.