Để chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DE \) trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \), điểm \( D \) nằm giữa \( A \) và \( B \), và điểm \( E \) trên tia đối của tia \( CA \) sao cho \( BD = CE \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các đoạn thẳng và tính chất:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), do đó \( AB = AC \).
- Điểm \( D \) nằm giữa \( A \) và \( B \), tức là \( AD + DB = AB \).
- Điểm \( E \) trên tia đối của tia \( CA \) sao cho \( BD = CE \).

2. **Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác cân:**
- Vì \( AB = AC \), tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên đường trung trực của \( BC \) cũng là đường phân giác của góc \( BAC \) và đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

3. **Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACE \):**
- \( BD = CE \) (giả thiết).
- \( AB = AC \) (tam giác cân tại \( A \)).

4. **Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \):**
- \( AB = AC \) (tam giác cân).
- \( BD = CE \) (giả thiết).
- Góc \( \angle BAD = \angle CAE \) (do \( E \) nằm trên tia đối của tia \( CA \)).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \).

5. **Suy ra các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau:**
- \( AD = AE \).
- \( \angle ADB = \angle AEC \).

6. **Xét tam giác \( ADE \):**
- \( AD = AE \) (từ bước 5).

Do đó, tam giác \( ADE \) cân tại \( A \).

7. **Xét đường thẳng \( DE \) cắt \( BC \) tại \( I \):**
- Vì \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \), các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
- \( I \) là giao điểm của \( DE \) và \( BC \).

8. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DE \):**
- Trong tam giác cân \( ADE \), đường thẳng \( AI \) là đường trung trực của \( DE \) (vì \( AI \) là đường cao từ đỉnh \( A \) của tam giác cân \( ADE \)).
- Do đó, \( I \) là trung điểm của \( DE \).

Vậy, \( I \) là trung điểm của \( DE \).