Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

**a) Chứng minh: \(\Delta AHB \cong \Delta CHA\)**

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\).

Xét hai tam giác \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\):

- Góc \(A\) là góc chung của hai tam giác.
- Góc \(AHB\) và góc \(CHA\) đều là góc vuông (vì \(AH\) là đường cao).

Vậy, \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:
- \(\angle AHB = \angle CHA = 90^\circ\)
- \(\angle BAH = \angle CAH\) (góc chung)

Do đó, \(\Delta AHB \cong \Delta CHA\) (góc - góc).

**b) Chứng minh: \(\Delta AEF \cong \Delta BEH\)**

Kẻ đường phân giác \(AD\) của \(\Delta CHA\) và đường phân giác \(BK\) của \(\Delta ABC\) (\(D \in BC\); \(K \in AC\)). \(BK\) cắt lần lượt \(AH\) và \(AD\) tại \(E\) và \(F\).

Xét hai tam giác \(\Delta AEF\) và \(\Delta BEH\):

- \(\angle AFE = \angle BHE\) (vì \(BK\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\))
- \(\angle AEF = \angle BEH\) (vì \(AD\) là đường phân giác của \(\Delta CHA\))

Do đó, \(\Delta AEF \cong \Delta BEH\) (góc - góc).

Từ đó suy ra:
\[ EA \cdot EH = EF \cdot EB \]

**c) Chứng minh: \(KD \parallel AH\)**

Do \(AD\) là đường phân giác của \(\Delta CHA\) và \(BK\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\), ta có:

- \(\angle CAD = \angle BAD\)
- \(\angle BAK = \angle CAK\)

Vì \(BK\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\), nên:
\[ \angle BAK = \angle CAK \]

Do đó, \(KD \parallel AH\) (vì \(AD\) và \(BK\) là hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác vuông tại \(A\)).

**d) Chứng minh: \(EH \parallel KD \parallel AB \parallel BC\)**

Từ phần c, ta đã chứng minh \(KD \parallel AH\).

Do \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\), nên \(AH \perp BC\).

Vì \(KD \parallel AH\), nên \(KD \perp BC\).

Do đó, \(EH \parallel KD \parallel AB \parallel BC\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.