Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. Trước tiên, hãy vẽ hình tam giác ABC vuông tại C với góc A = 60°, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại E, K là hình chiếu của E trên AB, và D là hình chiếu của B trên AE.

**a) Chứng minh tam giác ACE = tam giác AKE**

Xét tam giác ACE và tam giác AKE:
- AC là cạnh chung.
- AE là cạnh chung.
- Góc CAE = Góc KAE (vì E nằm trên tia phân giác của góc A).

Do đó, tam giác ACE = tam giác AKE (cạnh-góc-cạnh).

**b) Chứng minh AE vuông góc với CK**

Vì K là hình chiếu của E trên AB, nên EK vuông góc với AB. Do đó, góc EKA = 90°.

Trong tam giác AKE, vì tam giác ACE = tam giác AKE, nên góc EAK = góc EAC = 30°.

Do đó, góc EKA = 90° - 30° = 60°.

Vì tam giác ACE = tam giác AKE, nên góc EAC = góc EAK = 30°.

Vì góc EKA = 60°, nên góc EAC = 30°.

Do đó, AE vuông góc với CK.

**c) Gọi BD cắt AC tại I. Chứng minh: tam giác AIB đều**

Xét tam giác ABD và tam giác AID:
- AB là cạnh chung.
- AD là cạnh chung.
- Góc BAD = Góc IAD (vì D là hình chiếu của B trên AE).

Do đó, tam giác ABD = tam giác AID (cạnh-góc-cạnh).

Vì tam giác ABD = tam giác AID, nên góc ABD = góc AID = 60°.

Do đó, tam giác AIB đều.

**d) So sánh độ dài BE và EC**

Vì E nằm trên tia phân giác của góc A, nên BE/EC = AB/AC.

Vì tam giác ABC vuông tại C với góc A = 60°, nên AB = AC * sqrt(3).

Do đó, BE/EC = AB/AC = sqrt(3).

Vì sqrt(3) > 1, nên BE > EC.

**e) Chứng minh 3 điểm I, E, K thẳng hàng**

Vì tam giác AIB đều, nên góc AIB = 60°.

Vì tam giác ABD = tam giác AID, nên góc ABD = góc AID = 60°.

Do đó, góc AIB = góc ABD = 60°.

Vì góc AIB = góc ABD = 60°, nên I, E, K thẳng hàng.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán. Hy vọng bạn sẽ nộp bài đúng hạn và đạt điểm cao!