Để tìm giá trị của \( m \) sao cho khoảng cách từ điểm \( A(-4, 1) \) đến đường thẳng \( (d): y = (m - 2)x + 2m - 1 \) là lớn nhất, ta cần sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình đường thẳng \( (d) \) dưới dạng tổng quát:
\[ y = (m - 2)x + 2m - 1 \]
Chuyển về dạng tổng quát \( Ax + By + C = 0 \):
\[ (m - 2)x - y + (2m - 1) = 0 \]

Trong đó:
\[ A = m - 2 \]
\[ B = -1 \]
\[ C = 2m - 1 \]

Khoảng cách từ điểm \( A(-4, 1) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) được tính theo công thức:
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Thay các giá trị vào công thức:
\[ d = \frac{|(m - 2)(-4) - 1 \cdot 1 + (2m - 1)|}{\sqrt{(m - 2)^2 + (-1)^2}} \]
\[ d = \frac{|-4(m - 2) - 1 + 2m - 1|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]
\[ d = \frac{|-4m + 8 - 1 + 2m - 1|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]
\[ d = \frac{|-2m + 6|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]
\[ d = \frac{2|m - 3|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]

Để khoảng cách \( d \) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức:
\[ \frac{2|m - 3|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]

Xét hàm số:
\[ f(m) = \frac{|m - 3|}{\sqrt{(m - 2)^2 + 1}} \]

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta có thể xét đạo hàm và tìm các điểm cực trị. Tuy nhiên, ta cũng có thể nhận thấy rằng khi \( m \) càng xa giá trị 2, thì mẫu số \( \sqrt{(m - 2)^2 + 1} \) càng lớn, làm cho giá trị của hàm số \( f(m) \) nhỏ đi. Do đó, ta cần tìm giá trị \( m \) sao cho \( |m - 3| \) lớn nhất trong khi \( \sqrt{(m - 2)^2 + 1} \) không tăng quá nhanh.

Ta xét hai trường hợp:
1. \( m = 3 \)
2. \( m = 1 \)

Tính khoảng cách trong hai trường hợp này:
1. Khi \( m = 3 \):
\[ d = \frac{2|3 - 3|}{\sqrt{(3 - 2)^2 + 1}} = \frac{2 \cdot 0}{\sqrt{1 + 1}} = 0 \]

2. Khi \( m = 1 \):
\[ d = \frac{2|1 - 3|}{\sqrt{(1 - 2)^2 + 1}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]

Vậy, giá trị \( m \) để khoảng cách từ điểm \( A(-4, 1) \) đến đường thẳng \( (d) \) là lớn nhất là \( m = 1 \).