Cho hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\), \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu sau:

### a. Tam giác \(AOE\) cân tại \(O\)
Để chứng minh tam giác \(AOE\) cân tại \(O\), ta cần chứng minh rằng \(OA = OE\).

- Vì \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\) (do hình thang cân), nên \(AD\) và \(BC\) là các đường chéo của hình thang cân.
- Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\), ta có \(O\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) (do tính chất của hình thang cân).

Do đó, \(OA = OD\) và \(OB = OC\).

- Xét tam giác \(AOE\):
- \(O\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\).
- \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do đó, \(OA = OE\), suy ra tam giác \(AOE\) cân tại \(O\).

### b. Các tam giác \(ABD\) và \(BAC\) bằng nhau
Để chứng minh hai tam giác \(ABD\) và \(BAC\) bằng nhau, ta cần chứng minh rằng chúng có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau và ba cặp góc tương ứng bằng nhau.

- Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\):
- \(AB\) là cạnh chung.
- \(AD = BC\) (do tính chất của hình thang cân).
- Góc \(BAD\) bằng góc \(BAC\) (do \(AB \parallel CD\) và \(AD\) cắt hai đường thẳng song song).

Do đó, tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).

### c. \(EC = ED\)
Để chứng minh \(EC = ED\), ta cần chứng minh rằng \(E\) là trung điểm của \(CD\).

- Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(BCD\):
- \(AC\) và \(BD\) là các đường chéo của hình thang cân.
- \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do đó, \(E\) là trung điểm của \(CD\), suy ra \(EC = ED\).

### d. \(OE\) là trung trực chung của \(AB\) và \(CD\)
Để chứng minh \(OE\) là trung trực chung của \(AB\) và \(CD\), ta cần chứng minh rằng \(OE\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\) tại trung điểm của chúng.

- Xét tam giác \(AOE\) và tam giác \(COE\):
- \(O\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\).
- \(E\) là trung điểm của \(CD\).

Do đó, \(OE\) là đường trung trực của \(AB\) và \(CD\), tức là \(OE\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\) tại trung điểm của chúng.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.