Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần như sau:

**Phần a: Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE**

Xét tam giác BDE và tam giác DCE:

- Góc \( \angle BDE \) và \( \angle CDE \) là góc chung.
- Góc \( \angle EBD \) và \( \angle ECD \) là góc vuông (do \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( BD \) là đường chéo nên \( \angle EBD = \angle ECD = 90^\circ \)).

Do đó, tam giác BDE và tam giác DCE có hai góc tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

**Phần b: Chứng minh \( DC^2 = CH \cdot HB \)**

Kẻ \( CH \) vuông góc với \( DE \) tại \( H \).

Xét tam giác vuông \( DCH \) và tam giác vuông \( BHC \):

- \( \angle DCH = \angle BHC = 90^\circ \).
- \( \angle HDC = \angle HBC \) (do \( \angle HDC \) và \( \angle HBC \) là góc đối đỉnh).

Do đó, tam giác \( DCH \) và tam giác \( BHC \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ đồng dạng ta có:
\[ \frac{DC}{CH} = \frac{CH}{HB} \]

Suy ra:
\[ DC \cdot HB = CH^2 \]

Hay:
\[ DC^2 = CH \cdot HB \]

**Phần c: Chứng minh \( K \) là trung điểm của đoạn \( HC \)**

Gọi \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( OE \) và đường thẳng \( HC \).

Xét tam giác \( OBD \) và tam giác \( OCE \):

- \( \angle OBD = \angle OCE \) (do \( ABCD \) là hình chữ nhật nên \( \angle OBD = \angle OCE = 45^\circ \)).
- \( \angle BOD = \angle COE \) (do \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) nên \( \angle BOD = \angle COE = 90^\circ \)).

Do đó, tam giác \( OBD \) và tam giác \( OCE \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ đồng dạng ta có:
\[ \frac{OB}{BD} = \frac{OC}{CE} \]

Do \( OB = OC \) (vì \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \)), ta có:
\[ \frac{OB}{BD} = \frac{OC}{CE} = \frac{1}{2} \]

Suy ra:
\[ BD = 2 \cdot OB \]
\[ CE = 2 \cdot OC \]

Do đó, \( K \) là trung điểm của đoạn \( HC \) vì \( OE \) chia đôi đoạn \( HC \).

Vậy \( K \) là trung điểm của đoạn \( HC \).