Để giải bài toán này, ta cần lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho. Gọi \( x \) là số sản phẩm mà tổ công nhân phải sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch và \( y \) là số ngày theo kế hoạch để hoàn thành 300 sản phẩm.

Theo kế hoạch:
\[ x \times y = 300 \quad \text{(1)} \]

Thực tế, mỗi ngày tổ sản xuất nhiều hơn 6 sản phẩm so với kế hoạch, tức là \( x + 6 \) sản phẩm mỗi ngày. Do đó, tổ hoàn thành công việc trước 5 ngày so với thời hạn, tức là trong \( y - 5 \) ngày.

Thực tế:
\[ (x + 6) \times (y - 5) = 300 \quad \text{(2)} \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x \times y = 300 \\
(x + 6) \times (y - 5) = 300
\end{cases} \]

Giải phương trình (1) để tìm \( y \):
\[ y = \frac{300}{x} \]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[ (x + 6) \times \left(\frac{300}{x} - 5\right) = 300 \]

Giải phương trình này:
\[ (x + 6) \times \left(\frac{300 - 5x}{x}\right) = 300 \]
\[ (x + 6) \times (300 - 5x) = 300x \]
\[ 300x + 1800 - 5x^2 - 30x = 300x \]
\[ 1800 - 5x^2 - 30x = 0 \]
\[ 5x^2 + 30x - 1800 = 0 \]
\[ x^2 + 6x - 360 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
với \( a = 1 \), \( b = 6 \), và \( c = -360 \):
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-360)}}{2 \times 1} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1440}}{2} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{1476}}{2} \]
\[ x = \frac{-6 \pm 38.4}{2} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{32.4}{2} = 16.2 \]
\[ x = \frac{-44.4}{2} = -22.2 \]

Vì số sản phẩm không thể là số âm, nên ta chọn \( x = 16.2 \).

Vậy, mỗi ngày theo kế hoạch tổ công nhân phải sản xuất 16.2 sản phẩm.