Cho đường tròn (O), dây AB. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = BN (M nằm trên cung AN)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện hai phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng số đo cung \( AN = sđ \, BM \)

1. **Khái niệm về cung**: Số đo của cung trong một đường tròn là độ lớn của góc ở trung tâm tương ứng với cung đó.

2. **Dựa vào định lý góc trong đường tròn**: Gọi \( O \) là tâm đường tròn. Vì \( M \) và \( N \) nằm trên cung nhỏ \( AB \) và \( AM = BN \), ta sẽ có sự đối xứng trong cách mà điểm \( M \) và \( N \) phân chia cung \( AB \).

3. **Áp dụng định lý**: Ta có \( \angle AOB \) là góc ở tâm tương ứng với toàn bộ cung \( AB \). Do đó, \( \angle AOM \) và \( \angle BON \) sẽ có cùng số đo nếu \( AM = BN \), dẫn đến:

\[
sđ \, AN = sđ \, BM
\]

Vậy, ta có thể kết luận rằng \( sđ \, AN = sđ \, BM \) như yêu cầu.

### b) Chứng minh rằng hai dây \( AN \) và \( BM \) bằng nhau

Để chứng minh \( AN = BM \), ta có thể sử dụng định lý cạnh đối diện trong tam giác.

1. **Tam giác \( AOM \) và \( BON \)**: Xét hai tam giác \( AOM \) và \( BON \):
- Có \( OA = OB \) (bán kính của đường tròn).
- Góc \( \angle AOM = \angle BON \) (do tính chất đối xứng và \( AM = BN \)).

2. **Áp dụng định lý cạnh đối diện**: Từ đó, có thể suy ra rằng:

\[
AN = BM
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( AN \) và \( BM \) bằng nhau.

### Kết luận:

- Ta đã chứng minh được rằng \( sđ \, AN = sđ \, BM \) và \( AN = BM \) bằng cách áp dụng các định lý và tính chất của đường tròn.