Để phương trình \(2\tan^2x - \tan x - 2m + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x\) trong khoảng \([- \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\), chúng ta cần thảo luận về điều kiện của \(m\) dựa vào định nghĩa về nghiệm của phương trình bậc hai.

Gọi \(y = \tan x\), ta có phương trình trở thành:

\[
2y^2 - y - (2m - 1) = 0
\]

Để phương trình bậc hai này có 2 nghiệm phân biệt, cần thỏa mãn điều kiện:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2m + 1) > 0
\]

Tính toán \(D\):

\[
D = 1 + 8m - 8
\]
\[
D = 8m - 7
\]

Để có 2 nghiệm phân biệt, ta yêu cầu:

\[
8m - 7 > 0 \implies m > \frac{7}{8}
\]

Ngoài ra, vì \(x\) thuộc khoảng \([- \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\), nên \(\tan x\) sẽ nằm trong khoảng \([-1; 1]\). Do đó, nghiệm \(y\) của phương trình cũng phải nằm trong khoảng này.

Xét phương trình \(y_1, y_2\) của phương trình bậc hai, theo công thức nghiệm, ta có:

\[
y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{8m - 7}}{4}
\]

Để cả hai nghiệm \(y_1\) và \(y_2\) đều nằm trong khoảng \([-1; 1]\), ta cần xác định điều kiện cho từng nghiệm.

1. **Điều kiện cho \(y_1\)**:

\[
\frac{1 + \sqrt{8m - 7}}{4} \leq 1 \implies 1 + \sqrt{8m - 7} \leq 4 \implies \sqrt{8m - 7} \leq 3 \implies 8m - 7 \leq 9 \implies 8m \leq 16 \implies m \leq 2
\]

2. **Điều kiện cho \(y_2\)**:

\[
\frac{1 - \sqrt{8m - 7}}{4} \geq -1 \implies 1 - \sqrt{8m - 7} \geq -4 \implies -\sqrt{8m - 7} \geq -5 \implies \sqrt{8m - 7} \leq 5
\]
\[
8m - 7 \leq 25 \implies 8m \leq 32 \implies m \leq 4
\]

Tổng hợp các điều kiện:

\[
\frac{7}{8} < m \leq 2
\]

Vậy giá trị của \(m\) cần tìm là:

\[
m \in \left(\frac{7}{8}, 2\right]
\]