Để giải bài toán này, ta cần xác định các bước cụ thể như sau:

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \)
Hàm số được cho là:
\[
f(x) = mx^4 + 2(m-1)x^2
\]
Đạo hàm của hàm số là:
\[
f'(x) = 4mx^3 + 4(m-1)x = 4x(mx^2 + (m-1))
\]

### Bước 2: Tìm giá trị cực trị của hàm số
Để tìm các giá trị mà \( f'(x) = 0 \), ta có:
\[
4x(mx^2 + (m-1)) = 0
\]
Có hai khả năng:
1. \( x = 0 \)
2. \( mx^2 + (m-1) = 0 \) hay \( x^2 = \frac{1-m}{m} \) (nếu \( m > 0 \) và \( m \neq 1 \)).

### Bước 3: Tìm giá trị min của \( f'(x) \)
Tiếp theo, ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm trên và xác định giá trị min của \( f'(x) \) và so sánh với \( f(1) \).

### Bước 4: Tính giá trị \( f(1) \)
\[
f(1) = m(1^4) + 2(m-1)(1^2) = m + 2(m-1) = 3m - 2
\]

### Bước 5: Tìm điều kiện \( \min f'(x) = f(1) \)
Ta cần tính giá trị nhỏ nhất của \( f'(x) \) và đặt điều kiện này bằng \( f(1) \).

### Bước 6: Tính giá trị max của hàm số
Cuối cùng, chúng ta có thể tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trong đoạn [0,1].

### Kết luận
Để tìm \( \max f(x) \), chúng ta cần kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu của đoạn mà hàm số này được định nghĩa. Kết quả phụ thuộc vào các giá trị của \( m \) và các giá trị mà ta đã tính ở trước.

Nếu bạn cung cấp thêm thông tin về giá trị của \( m \), ta có thể xác định chính xác \( \max f(x) \).